Question

設M是△ABC內一點，且

AB

•

AC

=4

3

，∠BAC=30°，定義f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分別是△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f(M)=(1，x，y)，則

1

x

+

4

y

的最小值（　　）

Answer 1

分析：利用數量積即可得出三角形ABC的面積和x與y的關系式，再利用基本不等式即可得出．

解答：解：∵

AB

•

AC

=4

3

，∠BAC=30°，
∴cbcos30°=4

3

，∴bc=8．
∴S_△ABC=

1

2

bcsin30°=2，
∴1+x+y=2，
∴x+y=1，
∴

1

x

+

4

y

=（x+y）（

1

x

+

4

y

）=5+

y

x

+

4x

y

≥5+2

y x • 4x y

=9，
當且僅當

y

x

=

4x

y

時，取等號，
∴

1

x

+

4

y

的最小值是9．
故選C．

點評：本題考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，熟練掌握三角形的面積計算公式、數量積運算和基本不等式是解題的關鍵．