Question

（2008•上海模擬）設M是△ABC內一點，且

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f(M)=(

1

2

，x，y)，則

1

x

+

4

y

的最小值是

18

．

Answer 1

分析：由平面向量的數量積運算法則及∠ABC的度數，求出|

AB

||

AC

|的值，再由sinA的值，利用三角形的面積公式求出三角形ABC的面積為1，即△MBC，△MCA，△MAB的面積之和為1，根據題中定義的f(M)=(

1

2

，x，y)，得出x+y=

1

2

，利用此關系式對所求式子進行變形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．

解答：解：由

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，
得|

AB

||

AC

|=4，
所以S△=

1

2

|

AB

||

AC

|sinA=1，
∴x+y=

1

2

，
則

1

x

+

4

y

=2(

x+y

x

+

4x+4y

y

)=2(5+

y

x

+4

x

y

)≥18，
當且僅當

x= 1 6 y= 1 3

時，

1

x

+

4

y

的最小值為18．
故答案為：18

點評：此題考查了平面向量的數量積運算，新定義的理解，以及基本不等式的應用，得出x+y的值后，靈活變換所求的式子是求最小值的關鍵．