Question

下面玩擲骰子放球的游戲：若擲出1點，甲盒中放入一球；若擲出2點或是3點，乙盒中放入一球；若擲出4點或5點或6點，丙盒中放入一球．設擲n次后，甲、乙、丙盒內的球數分別為x，y，z.
(1)當n＝3時，求x、y、z成等差數列的概率；
(2)當n＝6時，求x、y、z成等比數列的概率；
(3)設擲4次后，甲盒和乙盒中球的個數差的絕對值為ξ，求Eξ.

Answer 1

(1)因為x＋y＋z＝3，且2y＝x＋z，
所以或，或.
當x＝0，y＝1，z＝2時，只投擲3次出現1次2點或3點、2次4點或5點或6點，即此時的概率為C·⁰·¹·²＝.
當x＝1，y＝1，z＝1時，只投擲3次出現1次1點、1次2點或是3點、1次4點或5點或6點，即此時的概率為C·C·¹·¹·¹＝.
當x＝2，y＝1，z＝0時，只投擲3次出現2次1點、1次2點或3點，即此時的概率為C·²·¹·⁰＝.
故當n＝3時，x，y，z成等差數列的概率為＋＋＝.
(2)當n＝6，且x，y，z成等比數列時，由x＋y＋z＝6，且y²＝xz，得x＝y＝z＝2.
此時概率為C·²·C·²·C·²＝.
(3)ξ的可能值為0,1,2,3,4.
P(ξ＝0)＝⁴＋C¹C¹C²＋C²C²＝；
P(ξ＝1)＝C¹³＋C¹³＋C²C¹C¹＋C¹C²C¹＝；
P(ξ＝2)＝C²²＋C²²＋C³¹＋C¹³＝；
P(ξ＝3)＝C³¹＋C³¹＝；
P(ξ＝4)＝C⁴＋C⁴＝；
Eξ＝×0＋×1＋×2＋×3＋×4＝

略