Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F、T、M、P滿足

OF

=(1，0)，

OT

=(-1，t)，

FM

=

MT

，

PM

⊥

FT

，

PT

∥

OF

．
（Ⅰ）當(dāng)t變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)F的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求證：直線TA、TF、TB的斜率依次成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），依據(jù)題意可推斷出M是線段FT的中點(diǎn)，則M的坐標(biāo)可推斷出，進(jìn)而利用

PM

⊥

FT

，求得x，y和t的關(guān)系式；同時(shí)利用

PT

∥

OF

求得t和y的另一關(guān)系式，最后消去t即可求得x和y的關(guān)系．
（Ⅱ）設(shè)直線TA，TF，TB的斜率依次為k₁，k，k₂，并記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)出直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立消去x，利用韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和2y₁y₂，進(jìn)而表示出y₁²+y₂²，進(jìn)而化簡(jiǎn)k₁+k₂得2k，判斷出k₁，k，k₂成等差數(shù)列．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
由

FM

=

MT

，得點(diǎn)M是線段FT的中點(diǎn)，則M(0，

t

2

)，

PM

=(-x，

t

2

-y)，
又

FT

=

OT

-

OF

=(-2，t)，

PT

=(-1-x，t-y)，
由

PM

⊥

FT

，得2x+t(

t

2

-y)=0，①
由

PT

∥

OF

，得（-1-x）×0+（t-y）×1=0，∴t=y②
由①②消去t，得y²=4x即為所求點(diǎn)P的軌跡C的方程
（Ⅱ）證明：設(shè)直線TA，TF，TB的斜率依次為k₁，k，k₂，并記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則k=-

t

2

設(shè)直線AB方程為x=my+1

y2=4x x=my+1

，得y²-4my-4=0，∴

y1+y2=4m y1•y2=-4

，
∴y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=16m²+8，
∴k1+k2=

y1-t

x1+1

+

y2-t

x2+1

=

(y1-t)( y 2 2 4 +1)+(y2-t)( y 2 1 4 +1)

( y 2 1 4 +1)( y 2 2 4 +1)

=

4y1y2(y1+y2)-4t( y 2 1 + y 2 2 )+16(y1+y2)-32t

y 2 1 y 2 2 +4( y 2 1 + y 2 2 )+16

=-t=2k
∴k₁，k，k₂成等差數(shù)列

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．考查了考生綜合分析問(wèn)題的能力和基本的計(jì)算能力．