Question

【題目】已知動點P與點的距離比它到直線的距離小1.

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）設P為直線上任一點，過點P作曲線C的切線，，切點分別為A，B，直線，與y軸分別交于M，N兩點，點、的縱坐標分別為m，n，求證：m與n的乘積為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意分析，點的軌跡是以為焦點，以為準線的拋物線，再根據(jù)拋物線的定義可求得拋物線方程；

（2）設點的坐標為，直線的方程為，直線的方程為，再分別將直線、與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)判別式等于0，得到，再根據(jù)、的方程得到，將與相乘，化簡可得定值.

（1）∵點與的距離比它到直線的距離小1，

∴點與的距離與它到直線的距離相等，

∴點的軌跡是以為焦點，以為準線的拋物線，所以，

故拋物線的標準方程為.

（2）證明：設點的坐標為，

直線的方程為，直線的方程為.

據(jù)，得

所以，得.

同理，得，

所以，是方程的兩個實根，

所以，

分別令，得，，

所以

.