Question

【題目】已知橢圓C1以直線所過的定點為一個焦點，且短軸長為4.

（Ⅰ）求橢圓C1的標準方程；

（Ⅱ）已知橢圓C2的中心在原點，焦點在y軸上，且長軸和短軸的長分別是橢圓C1的長軸和短軸的長的倍(＞1)，過點C(1,0)的直線l與橢圓C2交于A，B兩個不同的點，若，求△OAB的面積取得最大值時直線l的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) 或.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)根據直線過的定點可得，又b=2，可得，從而可得橢圓的方程．(Ⅱ)由題意設橢圓C2的方程為，結合條件可得點C(1,0)在橢圓C2內部，又直線l的斜率存在，故設其方程為y=k(x+1) (k≠0)，A(x1,y1), B(x2,y2)，將直線方程與橢圓方程聯立消元后，根據二次方程的兩根之和及可得，又由題意可得，然后利用基本不等式求得△OAB面積的最值，并由此可得直線方程．

試題解析：

(Ⅰ)由題意，直線方程即為，

所以直線過定點，故橢圓的焦點為．

又由題意可知b=2，

∴a2=c2+b2=9．

∴橢圓C1的標準方程為．

(Ⅱ)由題意設橢圓C2的方程為，

∵＞1，

∴點C(1, 0)在橢圓內部，故直線l與橢圓必有兩個不同的交點．

由題意得直線l的斜率不存在時不和題意，從而得直線l的斜率存在且不為0，故設直線l的方程為y=k(x+1) (k≠0)，

由消去x整理得

．

設A(x1,y1), B(x2,y2)，

則．

∵，且點C(1, 0)，

∴(1x1, y1)=2(x2+1, y2)，

∴y1= 2y2，

∴y1+y2= y2 ，故．

∴

，

當且僅當，即k=±時等號成立．

∴△OAB面積的最大值為，此時直線l的方程為或．