Question

如圖．在棱錐D一ABC中，若AB=CB=AD=CD=5，AC=8，BD=3

2

，E，F分別是AC，BD的中點．
（I）求證：平面DAC⊥平面ABC
（II）求三棱錐F-ABC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由E為等腰三角形的底邊AC的中點，可得DE⊥AC；在△BED中，利用勾股定理的逆定理可得DE⊥BE，從而證得結論．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知DE⊥平面ABC，而F點到底面ABC的距離是DE的一半，從而可計算出體積．

解答：解：（Ⅰ）∵AB=CB=AD=CD=5，AC=8，E為AC的中點，
∴DE⊥AC，BE⊥AC，DE=BE=

52-42

=3．
∵BD=3

2

，∴DE²+BE²=18=BD²，∴DE⊥BE，
∵DE⊥BE，BE∩AC=E，
∴DE⊥平面ABC，
∵DE?平面DAC，
∴平面DAC⊥平面ABC．
（Ⅱ）∵F為BD的中點，
∴F到平面ABC的距離為

1

2

DE=

3

2

．
∵S△ABC=

1

2

×8×3=12．
∴V_F-ABC=

1

3

×12×

3

2

=6．

點評：本題考查面面垂直、三棱錐的體積，由線線垂直得到線面垂直是解決的關鍵．利用等腰三角形的三線合一和勾股定理的逆定理等是證垂直常用的方法．