Question

將正整數2，3，4，5，6，7，…，n，…作如下分類：（2），（3，4），（5，6，7），（8，9，10，11），…，分別計算各組包含的正整數的和，記為S₁，S₂，S₃，S₄，…，記T_n=S₁+S₃+S₅+…+S_2n-1．
（1）分別求T₁，T₂，T₃的值；
（2）請猜測T_n的結果，并用數學歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）第n組有n個從小到大連續的正整數，可求得第1個數是

n(n-1)

2

+2，利用等差數列的求和公式得S_n=

n(n2+3)

2

+2（n∈N^*），從而可求得S₁=2，S₃=18，S₅=70，繼而可得T₁，T₂，T₃的值；
（2）猜想：T_n=n²（n²+1），（n∈N^*），利用數學歸納法證明即可，特別注意，假設當n=k（k∈N^*）時，猜測成立，即T_k=k²（k²+1）去推證n=k+1時等式也成立，要用好歸納假設．

解答：解：（1）第n組有n個從小到大連續的正整數，且第1個數是[1+2+3+…+（n-1）]+2=

n(n-1)

2

+2，
故S_n=n[

n(n-1)

2

+2]+

n(n-1)

2

=

n(n2+3)

2

+2（n∈N^*）．
S₁=2，S₃=18，S₅=70，T₁=S₁=2，
T₂=S₁+S₃=2+18=20，
T₃=S₁+S₃+S₅=2+18+70=90．…（6分）
（2）由（1）知T₁=2=1×2=1²×（1²+1），
T₂=20=4×5=2²×（2²+1），
T₃=90=9×10=3²×（3²+1）
猜想：T_n=n²（n²+1），（n∈N^*）．      …（10分）
證明：（ⅰ）當n=1時，已知成立．
（ⅱ）假設n=k（k∈N^*）時，猜測成立，即T_k=k²（k²+1）．則n=k+1時，
T_k+1=T_k+S_2k+1=k²（k²+1）+

(2k+1)[(2k+1)2+3]

2

，
因為（k+1）²[（k+1）²+1]-k²（k²+1）-

(2k+1)[(2k+1)2+3]

2

=[（k+1）⁴-k⁴]+[（k+1）²-k²]-

(2k+1)(4k2+4k+4]

2

=[（k+1）²+k²][（k+1）²-k²]+（2k+1）-（2k+1）（2k²+2k+2）
=（2k+1）（2k²+2k+2）-（2k+1）（2k²+2k+2）
=0，
所以k²（k²+1）+

(2k+1)[(2k+1)2+3]

2

=（k+1）²[（k+1）²+1]，即n=k+1時，猜測成立．
根據（ⅰ）（ⅱ），T_n=n²（n²+1）（n∈N^*）成立． …（16分）

點評：本題考查簡單的合情推理，突出考查數學歸納法的應用，（1）中求得S_n=

n(n2+3)

2

+2（n∈N^*）是難點，（2）猜想：T_n=n²（n²+1）（n∈N^*）是關鍵，考查運算與推理證明的能力，屬于難題．