Question

【題目】已知命題p：函數 在區間（m，m+1）上單調遞減，命題q：實數m滿足方程 表示的焦點在y軸上的橢圓．
（1）當p為真命題時，求m的取值范圍；
（2）若命題“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵

∴ ，

當x∈（0，3）時，f′（x）＜0，函數為減函數，

當p為真命題時， ，

解得：0≤m≤2

（2）解：若q為真命題，則：

5﹣m＞m﹣1＞0，

解得：1＜m＜3

若命題“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，則命題p，q一真一假，

故 ，或

解得：0≤m≤1或2＜m＜3

【解析】（1）當p為真命題時，f′（x）＜0恒成立，可得m的取值范圍；（2）若命題“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，則命題p，q一真一假，進而得到答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解命題的真假判斷與應用的相關知識，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系，以及對利用導數研究函數的單調性的理解，了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．