Question

【題目】已知函數f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2．
（1）求函數f（x）的最小正周期及單調遞增區間；
（2）當x∈[ ， ]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2

=（1+2sinxcosx）+2 ﹣2

=sin2x+cos2x

= sin（2x+ ），

∴函數f（x）的最小正周期為T= =π；

令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，

解得﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，

∴函數f（x）的單調遞增區間為[﹣ +kπ， +kπ]，（k∈Z）

（2）解：當x∈[ ， ]時， ≤2x≤ ，

∴ ≤2x+ ≤ ，

∴﹣1≤sin（2x+ ）≤ ，

∴﹣ ≤f（x）≤1；

即函數f（x）的值域是[﹣ ，1]

【解析】（1）化簡函數f（x），即可求出f（x）的最小正周期與單調遞增區間；（2）求出x∈[ ， ]時，2x+ 的取值范圍，即可得出sin（2x+ ）的取值范圍，從而求出函數f（x）的值域．