Question

已知函數f（x）是定義在（0，+∞）上的單調增函數，滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1
（1）求f（1）、f（

1

3

）的值；
（2）若滿足f（x）+f（x-8）≤2，求x的取值范圍．

Answer 1

（1）令x=y=1得：f（1•1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
令y=

1

x

，則f（x•

1

x

）=f（x）+f（

1

x

）=f（1）=0，
∵f（3）=1，
∴f（

1

3

）=-f（3）=-1；
（2）∵f（9）=f（3）+f（3）=2，
∴f（x）+f（x-8）＜2?f[x（x-8）]＜f（9），
而函數f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數，
∴

x＞0 x-8＞0 x(x-8)＜9

，
解得：8＜x＜9，
∴x的取值范圍是（8，9）．