Question

如圖,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90°,OP=2,點M在線段PQ上.

(1)若OM=,求PM的長;
(2)若點N在線段MQ上,且∠MON=30°,問:當∠POM取何值時,△OMN的面積最小?并求出面積的最小值.

Answer 1

(1) MP=1或MP=3   (2) ∠POM=30°時,△OMN的面積的最小值為8-4

解:(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM=,OP=2,
由余弦定理得,OM²=OP²+MP²-2OP·MP·cos45°,
得MP²-4MP+3=0,
解得MP=1或MP=3.
(2)設∠POM=α,0°≤α≤60°,
在△OMP中,由正弦定理,
得=,
所以OM=,
同理ON=.
故S_△OMN=OM·ON·sin∠MON
=×
=
=
=
=
=
=.
因為0°≤α≤60°,
30°≤2α+30°≤150°,
所以當α=30°時,sin(2α+30°)的最大值為1,
此時△OMN的面積取到最小值.
即∠POM=30°時,△OMN的面積的最小值為8-4.