Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足：Sn=

a

a-1

(an-1)（a為常數，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

2Sn

an

+1，若數列{b_n}為等比數列，求a的值；
（3）在條件（2）下，設cn=2-(

1

1+an

+

1

1-an+1

)，數列{c_n}的前n項和為T_n．求證：Tn＜

1

3

．

Answer 1

分析：（1）利用通項公式和前n項和公式關系式an=

s1      (n=1) sn-sn-1(n≥2)

，得到a_n與a_n-1的關系．
（2）把s_n代入b_n并化簡，已知數列為等比數列，取一些具體簡單項，再利用等比中項求出a的值．
（3）把前兩小題的結果代入c_n并化簡，由式子的特點利用放縮法證明．即兩項相減時前一項放小后一項放大，前后兩項恰好消去，然后再放縮．

解答：解：（1）∵S1=

a

a-1

(a1-1)（a為常數，且a≠0，a≠1），
∴當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

a

a-1

an-

a

a-1

an-1，
化簡得

an

an-1

=a（a≠0），
又∵當n=1時，a₁=s₁=a，即{a_n}是等比數列．
∴數列的通項公式a_n=a•a^n-1=aⁿ
（2）由（1）知，bn=

2• a a-1 (an-1)

an

+1=

(3a-1)an-2a

an(a-1)

，
因{b_n}為等比數列，則有b₂²=b₁b₃
∵b1=3，b2=

3a+2

a

，b3=

3a2+2a+2

a2

，
∴(

3a+2

a

)2=3•

3a2+2a+2

a2

，
解得a=

1

3

，再將a=

1

3

代入得b_n=3ⁿ成立，
∴a=

1

3

．
（3）證明：由（2）知an=(

1

3

)n，
∴cn=2-

1

1+( 1 3 )n

-

1

1-( 1 3 )n+1

=1-

3n

3n+1

+1-

3n+1

3n+1-1

=

1

3n+1

-

1

3n+1-1

，
∵

1

3n+1

＜

1

3n

，

1

3n+1-1

＞

1

3n+1

∴

1

3n+1

-

1

3n+1-1

＜

1

3n

-

1

3n+1

，
∴cn＜

1

3n

-

1

3n+1

∴數列的前n和T_n=c₁+c₂+…+c_n
＜(

1

3

-

1

32

) +(

1

32

-

1

33

) +…+(

1

3n

- 

1

3n-1

)
=

1

3

-

1

3n+1

＜

1

3

點評：本題考查的知識全面，涉及到通項公式和前n項和的關系及等比數列的定義，計算量也很大，最后證明用放縮法，需要認真觀察式子的特點，恰到好處的放縮才能證明出來．做好本題需要強的計算能力和嚴密的邏輯思維能力．