【題目】已知函數
,函數
．
⑴若
的定義域為
,求實數
的取值范圍；
⑵當
,求函數
的最小值
；
⑶是否存在實數
,使得函數
的定義域為
,值域為
？若存在,求出的值；若不存在,則說明理由．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【解析】
（1）因為
的定義域為
，所以
對任意實數
恒成立.當m=0時顯然不滿足，當m不為0時，內層函數為二次函數，需要開口向上且判別式小于0，即可滿足要求．
（2）x∈[-1，1]時，求函數
是一個復合函數，復合函數的最值一般分兩步來求，第一步求內層函數的值域，第二步研究外層函數在內層函數值域上的最值，本題內層函數的值域是確定的一個集合，而外層函數是一個系數有變量的二次函數，故本題是一個區間定軸動的問題．
(3) 根據函數的單調性，列出方程組
轉化為：即m、n是方程
的兩非負實根，且m＜n.即可得解.
（1）由題意對任意實數恒成立,
∵
時顯然不滿足
∴
∴
（2）令
,則
∴ 
（3）∵ 
∴ 
∴ 
∴ 函數
在[
,
]單調遞增,
∴ 又∵ 
∴ 
，
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】李明自主創業，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的80%．
①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校900名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18 秒之間，利用分層抽樣的方法抽取其中若干個樣本，將測試結果按如下方式分成五組：第一組[13,14），第二組[14,15），…，第五組[17,18]，有關數據見下表：
各組組員數 | 各組抽取人數 | |
[13,14） | 54 | a |
[14,15） | b | 8 |
[15,16） | 342 | 19 |
[16,17） | 288 | c |
[17,18] | d |
（1）求a,b,c,d的值；
（2）若樣本第一組中只有一個女生，其他都是男生，第五組則只有一個男生，其他都是女生，現從第一、五組中各抽一個同學組成一個新的組，求這個新組恰好由一個男生和一個女生構成的概率。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，
平面
，點
在以
為直徑的
上，
，
，點
為線段
的中點，點
在弧上，且
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）求證：平面
平面
；
（3）設二面角
的大小為
，求
的值.
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)
.
【解析】試題分析：
（1）由△ABC中位線的性質可得
，則
平面.由線面平行的判斷定理可得
平面.結合面面平行的判斷定理可得平面.
（2）由圓的性質可得
，由線面垂直的性質可得
，據此可知
平面.利用面面垂直的判斷定理可得平面平面.
（3）以為坐標原點，
所在的直線為
軸，
所在的直線為
軸，建立空間直角坐標系
.結合空間幾何關系計算可得平面的法向量
，平面
的一個法向量
，則
.由圖可知為銳角，故
.
試題解析：
（1）證明：因為點為線段的中點，點
為線段的中點，
所以，因為
平面，
平面，所以平面.
因為，且
平面，
平面，所以平面.
因為
平面
，
平面，
，
所以平面平面.
（2）證明：因為點在以為直徑的上，所以
，即.
因為平面，
平面，所以.
因為平面，平面，
，所以平面.
因為平面
，所以平面平面.
（3）解：如圖，以為坐標原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系.
因為，，所以
，
.
延長
交于點
.因為，
所以
，
，
.
所以
，
，
，
.
所以
，
.
設平面的法向量
.
因為
，所以
，即
.
令
，則
，
.
所以.
同理可求平面的一個法向量.
所以.由圖可知為銳角，所以.
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知圓
，點
，直線
.
（1）求與圓相切，且與直線
垂直的直線方程；
（2）在直線
上（為坐標原點），存在定點
（不同于點
），滿足：對于圓上任一點
，都有
為一常數，試求所有滿足條件的點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)當x∈Z時，求A的非空真子集的個數；
(2)當x∈R時，若A∩B＝，求實數m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
是偶函數，且
，
.
（1）當
時，求函數
的值域；
（2）設
R，求函數
的最小值
；
（3）對（2）中的，若不等式
對于任意的
恒成立，求實數
的取值范圍.
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