Question

已知兩圓M：x²+y²+4x-4y-5=0和N：x²+y²-8x+4y+7=0．
（1）求證：此兩圓相切，并求出切點的坐標；
（2）求過點（2，3）且與兩圓相切于上述切點的圓的方程．

Answer 1

考點：圓與圓的位置關系及其判定

專題：直線與圓

分析：（1）根據條件求得兩個圓的圓心和半徑，再根據圓心距正好等于半徑之和，證得兩圓相切．再求得兩圓的公共切線方程，直線MN的方程，聯立方程組，求得切點的坐標．
（2）設所求的圓的圓心為（a，b），則根據圓和圓相切的性質求得a、b的值，可得所求的圓的方程．

解答： （1）證明：圓M：x²+y²+4x-4y-5=0，即 （x+2）²+（y-2）²=13，表示以M（-2，2）為圓心、半徑等于

13

的圓．
N：x²+y²-8x+4y+7=0 即 （x-4）²+（y+2）²=13，表示以N（4，-2）為圓心、半徑等于

13

的圓．
由于圓心距MN=

(4+2)2+(2+2)2

=2

13

，正好等于半徑之和，故這2個圓相外切．
把兩個圓的方程相減，可得兩圓的公共切線方程為3x-2y-3=0，根據兩圓的圓心坐標求得直線MN的方程為

y+2

2+2

=

x-4

-2-4

，即2x+3y-2=0，
 再由

3x-2y-3=0 2x+3y-2=0

 求得切點的坐標為（1，0）．
（2）解：設所求的圓的圓心為（a，b），則所求的圓的半徑為r=

(a-2)2+(b-3)2

=

(a-1)2+(b-0)2

，化簡可得a+3b-6=0 ①．
再根據圓和圓相切的性質可得

(a+2)2+(b-2)2

=r+

13

，

(a-4)2+(b+2)2

=r+

13

，化簡可得 3a-2b-3=0 ②．
由①②求得

a= 21 11 b= 15 11

，故所求的圓的方程為 (x-

21

11

)2+(y-

15

11

)2=

325

121

．

點評：本題主要考查圓和圓相切的性質，用待定系數法求圓的方程，屬于基礎題．