Question

（1）已知命題p：2x²-3x+1≤0和命題q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．
（2）已知命題s：方程x²+（m-3）x+m=0的一根在（0，1）內，另一根在（2，3）內．命題t：函數f（x）=ln（mx²-2x+1）的定義域為全體實數．若s∨t為真命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出命題p，q的等價形式，利用?p是?q的必要不充分條件，求出a的取值范圍．
（2）求出命題s，t的等價形式，利用s∨t為真命題，求實數m的取值范圍．

解答：解：（1）對于命題p：2x²-3x+1≤0，解得：

1

2

≤x≤1…（1分）
對于命題q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，解得：a≤x≤a+1…（3分）
由?p是?q的必要不充分條件，所以?q⇒?p且?p推不出?q．于是所以p推不出q且q⇒p．…（5分）
所以

a≤ 1 2 a+1≥1

．解得

a≤ 1 2 a≥0

，即：0≤a≤

1

2

所以實數a的取值范圍是0≤a≤

1

2

．…（7分）
（2）對于命題s：方程x²+（m-3）x+m=0的一根在（0，1）內，另一根在（2，3）內，
設g（x）=x²+（m-3）x+m，則：

g(0)＞0 g(1)＜0 g(2)＜0 g(3)＞0

，即：

m＞0 1+m-3+m＜0 4+2m-6+m＜0 9+3m-9+m＞0

…（9分）
解得：0＜m＜

2

3

…（10分）
對于命題t：函數f（x）=ln（mx²-2x+1）的定義域為全體實數，
則有：

m＞0 △=4-4m＜0

…（12分）
解得：m＞1…（13分）
又s∨t為真命題，即s為真命題或t為真命題．
所以所求實數m的取值范圍為0＜m＜

2

3

或m＞1．…（14分）

點評：本題主要考查復合命題的真假應用，以及充分條件和必要條件的判斷，考查學生的綜合能力．