Question

已知

OF

=（c，0）（c＞0），

OG

=（n，n）（n∈R），|

FG

|的最小值為1，若動點P同時滿足下列三個條件：
①|(zhì)

PF

|=

c

a

|

PE

|（a＞c＞0）；
②

PE

=λ

OF

 （其中

OE

=（

a2

c

，t），λ≠0，t∈R）；
③動點P的軌跡C經(jīng)過點B（0，-1）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求曲線C的方程；
（Ⅲ）是否存在方向向量為a=（1，k）（k≠0）的直線l，使l與曲線C交于兩個不同的點M、N，且|

BM

|=|

BN

|？若存在，求出k的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）：由向量模的公式得出|

FG

|=

(n-c)2+n2

=

2(n- c 2 )2+ c2 2

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出其最小值，從而求得c值．
（Ⅱ）先根據(jù)條件得到：|

PF

|=

c

a

|

PE

|（a＞c＞0）．從而得出點P在以F為焦點，x=

a2

c

為準線的橢圓上，從而

(x- 2 )2+y2

=

2

a

|

a2

2

-x|，最后將點B（0-1）代入，解得a即可寫出曲線C的方程；
（Ⅲ）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在方向向量為a₀=（1，k）（k≠0）的直線l滿足條件，則可設l：y=kx+m（k≠0），再利用△ABC為正三角形，求出CD的長，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
假設存在方向向量為a₀=（1，k）（k≠0）的直線l滿足條件，則可設l：y=kx+m（k≠0），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根與系數(shù)的關系結合垂直關系即可求得k的范圍，從而解決問題．

解答：解：（Ⅰ）：|

FG

|=

(n-c)2+n2

=

2(n- c 2 )2+ c2 2

，
當n=

c

2

時，|

FG

|_min=

c2 2

=1，所以c=

2

．（3分）
（Ⅱ）∵

PE

=λ

OF

 （λ≠0），∴PE⊥直線x=

a2

c

，又|

PF

|=

c

a

|

PE

|（a＞c＞0）．
∴點P在以F為焦點，x=

a2

c

為準線的橢圓上．（5分）
設P（x，y），則有

(x- 2 )2+y2

=

2

a

|

a2

2

-x|，點B（0-1）代入，解得a=

3

．
∴曲線C的方程為 

x2

3

+y²=1                                       （7分）
（Ⅲ）假設存在方向向量為a₀=（1，k）（k≠0）的直線l滿足條件，則可設l：y=kx+m（k≠0），
與橢圓

x2

3

+y²=1聯(lián)立，消去y得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．（10分）
由判別式△＞0，可得m²＜3k²+1．①
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點P（x₀，y₀），由|BM|=|BN|，則有BP⊥MN．
由韋達定理代入k_BP=-

1

k

，可得到m=

1+3k2

2

               ②
聯(lián)立①②，可得到  k²-1＜0，（12分）
∵k≠0，∴-1＜k＜0或0＜k1．
即存在k∈（-1，0）∪（0，1），使l與曲線C交于兩個不同的點M、N，且|

BM

|=|

BN

|．（14分）z

點評：本小題主要考查向量在幾何中的應用、直線與圓錐曲線的綜合問題，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．