Question

已知橢圓＞b＞0）的離心率為，且過點．
（I）求橢圓的方程；
（II）已知點C（m，0）是線段OF上一個動點（O為原點，F為橢圓的右焦點），是否存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A，B兩點，使|AC|=|BC|，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據橢圓＞b＞0）的離心率為，且過點，建立方程組，即可求得橢圓的方程；
（II）設過點F且與x軸不垂直的直線l的方程為：y=k（x-2）代入橢圓方程，消去y可得一元二次方程，求出AB垂直平分線的方程，將C的坐標代入，即可求得結論．
解答：解：（I）由題意，，∴，∴橢圓的方程為；
（II）設過點F且與x軸不垂直的直線l的方程為：y=k（x-2）代入橢圓方程，消去y可得
（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，則△=16k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）=-16k²+8＞0，∴k²＜
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，y₁+y₂=-
∴AB的中點的坐標為（）
∴AB的垂直平分線的方程為y+=-（x-）
將點C（m，0）代入可得0+=-（m-）
∴m=
∵0＜m＜2
∴恒成立
∴存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A，B兩點，使|AC|=|BC|．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，確定橢圓的方程，求出AB的垂直平分線的方程是關鍵．