Question

（本小題滿分13分）對某校高一年級的學生參加社區服務的次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區服務的次數，根據此數據作出了下圖所示的頻數與頻率的統計表和頻率分布直方圖：

（I）求出表中M、p及圖中a的值
（II）學校決定對參加社區服務的學生進行表彰，對參加活動次數在［25，30］區間的每個學生發放價值80元的學習用品，對參加活動次數在［20,25）區間的每個學生發放價值60元的學習用品，對參加活動次數在［15,20）區間的每個學生發放價值40元的學習用品，對參加活動次數在［10,15）區間的每個學生發放價值20元的學習用品，在所抽取的這M名學生中，任意取出2人，設X為此二人所獲得學習用品價值之差的絕對值，求X的分布列與數學期望E（X）。

Answer 1

（I），，a為0.08
（II）的分布列為：

本試題主要是考查了直方圖的性質的運用，以及分布列的求解和數學期望值的運算的綜合運用。
（1）利用直方圖中面積代表頻率可知，，，，又，
解得，，，，
故可知得到結論
（2）先分析隨機變量的取值情況，然后得到各個取值的概率值，進而結合古典概型得到概率值，得到分布列和期望值。
解（Ⅰ）由題可知，，，，又，
解得，，，，
故組的頻率與組距之比a為0.08．··················· 5分
（Ⅱ）可知X的值可能為0元、20元、40元、60元，·············· 6分
則，，
，.················ 10分
所以的分布列為：

	0	20	40	60
P

···································· 11分
．  13分