Question

正項數列的前n項和為，且。
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）求證：。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析．

試題分析：（Ⅰ）求數列的通項公式，由已知，這是由求，可根據來求，因此當時，，解得，當時，，整理得，從而得數列是首項為2，公差為4的等差數列，可寫出數列的通項公式；（Ⅱ）求證：，由（Ⅰ）可知，觀察所證問題，顯然需對式子變形，但所證問題的形式為，這就需要利用放縮法，很容易得證．
試題解析：（Ⅰ）由知，當時，，解得；
當時，， （3分）
整理得，又為正項數列，
故 ()，因此數列是首項為2，公差為4的等差數列，
。(6分)
（Ⅱ）由于
=（8分）
因此
=。（12分）