Question

如圖，△ABC是某屋頂的斷面，CD⊥AB，橫梁AB的長是豎梁CD長的2倍．設計時應使y=tanA+2tanB保持最小，試確定D點的位置，并求y的最小值．

Answer 1

【答案】分析：首先設CD=1，則AB=2，再設AD=x，得BD=2-x，（0＜x＜2），然后根據直角三角形中三角函數的定義，得到tanA=且tgB=，代入y=tanA+2tanB的表達式，再進行配湊，得到y=，最后通過基本不等式討論分母的最小值，可得y的最小值是．根據取等號的條件得到：當且僅當時，取到這個最小值，求出AD與DB的比值，從而確定D點的位置，問題得到解決．
解答：解：設CD=1，則AB=2，再設AD=x，得BD=2-x，（0＜x＜2）
∵Rt△ACD中，tanA==，Rt△BCD中，tanB==
∴
==
∵；當且僅當時取等號
∴當時，y取得最小值
此時，
∴
答：取AD：DB=1：時，y有最小值
點評：本題借助于一個實際問題，通過求函數的最小值，著重考查了任意角三角函數的定義、基本不等式和函數的值域與最值等知識點，屬于中檔題．