Question

求證：無論a取什么實數，二次函數y＝x²＋ax＋a－2的圖象都與x軸相交于兩個不同的點，并求出這兩點間距離最小時的二次函數解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：令x2＋ax＋a－2＝0． 　　∵Δ＝a2－4(a－2)＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4，∴無論a為任何實數，均有Δ＞0． 　　∴此二次函數必與x軸交于兩個不同的點． 　　設這兩個不同交點為A(x1，0)，B(x2，0)，則x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， 　　∴交點之間的距離為 　　|AB|＝|x1－x2| 　　＝． 　　∴當a＝2時，|AB|最小＝＝2． 　　∴此時函數的解析式為y＝x2＋2x． 　　點評：利用韋達定理求出二次函數y＝x2＋ax＋a－2的圖象與x軸兩交點之間的距離，再用配方法求出a取何值時，距離最小，一般來說不要解一元二次方程求交點，可直接應用求根公式得|x1－x2|＝．

提示：

要證明二次函數圖象與x軸有兩個交點，只要證明相應的一元二次方程有兩個不相等的實數根．二次函數圖象與x軸有兩交點，求兩交點間的距離，可以轉化為對應一元二次方程兩根差的絕對值，再用韋達定理及二次函數的最值知識求出a的值．