Question

已知f（x）=x²+bx+c為偶函數，且f（1）=3．
（1）求f（x）的解析式
（2）若x∈（-1，2）時，均有f（x）+m＜2，求m的值．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用函數奇偶性的定義，f（x）是偶函數，可得f（-x）=f（x），代入解析式得到b的值，通過f（1）=3求出a的值，然后求出函數的解析式．
（2）利用等價轉化，求出函數的最值，即可求出m的范圍．

解答： 解：（1）由已知函數f（x）是偶函數，所以有f（-x）=f（x），
即：（-x）²+b（-x）+c=x²+bx+c，
即：2bx=0，因為x∈R時，此等式恒成立，所以，b=0，
∵f（1）=3，∴3=1+c，c=2，
∴函數的解析式為：f（x）=x²+2．
（2）函數的開口向上，對稱軸是y軸，x∈（-1，2）時，
f（x）最小值為f（0）=2，x∈[-1，2]時，函數的最大值為f（2）=6，
∴x∈（-1，2）時，函數的值域為：[2，6）．
又x∈（-1，2）時，均有f（x）+m＜2，
∴6+m＜2，解得m＜-4．

點評：本題考查函數奇偶性，以及代數恒等式成立的問題．本題在得到2bx=0時，是對于x∈R等式都成立．基本知識的考查．