Question

橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F₁（-c，0），F₂（c，0），M是橢圓上的一點，且滿足

F1M

•

F2M

=0．
（Ⅰ）求離心率的取值范圍；
（Ⅱ）當離心率e取得最小值時，橢圓上的點到焦點的最近距離為4（

2

-1）．
①求此時橢圓G的方程；
②設斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓G相交于不同的兩點A、B，Q為AB的中點，問A、B兩點能否關于過點P（0，-

3

3

）、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設M（x，y），由

F1M

•

F2M

=0，得y²=c²-x²，由M在橢圓上，得y2=b2-

b2

a2

x2，從而得到x2=a2-

a2b2

c2

，由此能求出離心率的取值范圍．
（2）①依題意得：

a-c=4( 2 -1) c a = 2 2

，由此能求出橢圓方程．
②設l：y=kx+m，由

x2 32 + y2 16 =1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-32=0，由此利用根的判別式、韋達定理、直線對稱，結合已知條件能求出k的取值范圍．

解答： 解：（1）橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F₁（-c，0），F₂（c，0），
M是橢圓上的一點，設M（x，y），則

F1M

=(x+c，y)，

F2M

=(x-c，y)，
∵滿足

F1M

•

F2M

=0，
∴x²+y²=c²，∴y²=c²-x²，…（1分）
又M在橢圓上，∴y2=b2-

b2

a2

x2，…（2分）
∴c²-x²=b²-

b2

a2

x2，x2=a2-

a2b2

c2

，…（3分）
又0≤x²≤a²，∴0＜2-

1

e2

≤1，∴

2

2

≤e≤1，…（4分）
∵0＜e＜1，∴

2

2

≤e＜1．…（5分）
（2）①依題意得：

a-c=4( 2 -1) c a = 2 2

，∴

a=4 2 b=4

，
∴橢圓方程是：

x2

32

+

y2

16

=1．…（7分）
②設l：y=kx+m，由

x2 32 + y2 16 =1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-32=0，
而△＞0可得m²＜32k²+16…（9分）
又A、B兩點關于過點P（0，-

3

3

）、Q的直線對稱
∴kPQ=-

1

k

，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則xQ=-

2km

1+2k2

，y_Q=

m

1+2k2

，…（10分）
∴

yQ+ 3 3

-xQ

=-

1

k

，∴m=

1+2k2

3

，…（11分）
∴（

1+2k2

3

）²＜32k²+16，∴0＜k²＜

47

2

，
又k≠0，∴-

94

2

＜k＜0或o＜k＜

94

2

，
∴k的取值范圍是-

94

2

＜k＜0或0＜k＜

94

2

．…（12分）

點評：本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，考查橢圓方程的求法，考查直線斜率的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．