Question

已知命題P：方程

x2

m

+y²=1表示焦點在y軸上的橢圓；命題Q：直線y=x-1與拋物線y=mx²有兩個交點．
（1）若命題Q為真命題，求實數m的取值范圍；
（2）若命題P與Q中有且僅有一個為真命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：推理和證明

分析：先對兩個命題分別化簡，求出命題P與Q對應的m的取值范圍．

解答： 解：命題P：方程

x2

m

+y²=1表示焦點在y軸上的橢圓?0＜m＜1．
（1）若命題Q：直線y=x-1與拋物線y=mx²有兩個交點?mx²=x-1有兩個交點
?mx²-x+1=0有兩個不同實根，得

m≠0 1-4m＞0

，∴m＜

1

4

且m≠0，
故m的取值范圍是（-∞，0）∪（0，

1

4

）
（2）若命題P與Q中有且僅有一個為真命題，則P真Q假或P假Q真
若P真Q假，得

1

4

≤m＜1；若P假Q真，得m＜0．
故m的取值范圍是（-∞，0）∪[

1

4

，1）

點評：本題以圓錐曲線與直線為載體考查了命題的真假，屬于基礎題．