Question

【題目】對于函數，若存在，使成立， 則稱點為函數的不動點.

（1）若函數有不動點和， 求的值 ；

（2）若對于任意實數，函數總有 2 個相異的不動點 ， 求實數的取值范圍；

（3）若定義在實數集 R 上的奇函數存在（有限的）個不動點 ， 求證：必為奇數.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)見解析

【解析】

（1）由不動點定義有， 即. ①

將代入式①得.

將代入式①得.解得.

（2）由條件知， 對任意實數， 方程 ①總有兩個相異的實數根， 所以， 恒成立，即對任何實數，恒成立.

從而， ， 即.解得.

（3）顯然點是奇函數在 R 上的一個不動點.若有異于的不動點， 則.

又，

則也是在 R 上的一個不動點.

所以， 的有限個不動點除原點外 ， 都是成對出現的， 有 個.則 在 R上共有個不動點.因此，為奇數.