Question

【題目】已知某單位有甲、乙、丙三個部門，從員工中抽取7人，進行睡眠時間的調查．若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．

（1）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數，求隨機變量X的分布列與數學期望；

（2）設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發生的概率．

Answer 1

【答案】（1）分布列詳見解析，數學期望為；（2）.

【解析】

（1）由題意可知隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．根據古典概型的計算公式可得：

P(X＝k)＝ (k＝0，1，2，3)，這樣求出X的所有可能取值所對應的概率，最后列出離散型隨機變量分布列，再根據數學期望公式進行求解即可；

（2）根據事件的運算，結合（1）的結論、互斥事件的概率公式進行求解即可.

（1）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．

P(X＝k)＝ (k＝0，1，2，3)．

，

，

，

，

所以，隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P

隨機變量X的數學期望；

（2）設事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；

事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，

則A＝B∪C，且B與C互斥．

由（1）知，P（B）＝P(X＝2)，P（C）＝P(X＝1)，

故P（A）＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝．

所以，事件A發生的概率為．