Question

【題目】已知函數，，直線與曲線切于點，且與曲線切于點.

（1）求實數的值；

（2）證明：（ⅰ）；（ⅱ）當為正整數時，

Answer 1

【答案】（1），（2）證明見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求出，，再利用導數的幾何意義求出切線方程，進而得到. （Ⅱ）證明：（ⅰ）由于,由題意可構造函數,

再求,得到函數的單調性,可得；同理再構造函數，得到，從而不等式成立.

（ⅱ）證明本題時，注意（ⅰ）的結論的應用，取得：,

令，則，

當時，作差比較的大小，可證出.

又，

故,利用放縮法得到證畢

試題解析：（Ⅰ）由，，

則，，，，

曲線在點處的切線為，

曲線在點處的切線為，即，

依題意，得.

（Ⅱ）證明：（ⅰ）,令,

所以,

當時，，所以單調遞減,

所以；

令，則

所以單調遞減，故，

所以成立.

（ⅱ）由（ⅰ），取得：,

令，

則，當時，

.

因此.

又，

故,

所以當為正整數時，成立.