Question

【題目】設函數f（x）= ，g（x）=a（x+b）（0＜a≤1，b≤0）．
（1）討論函數y=f（x）g（x）的奇偶性；
（2）當b=0時，判斷函數y= 在（﹣1，1）上的單調性，并說明理由；
（3）設h（x）=|af2（x）﹣ |，若h（x）的最大值為2，求a+b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）= ，g（x）=a（x+b）（0＜a≤1，b≤0）．

可得y=f（x）g（x）=a（x+b） ，

①當b=0時，f（x）g（x）=ax ，﹣1≤x≤1，

由f（﹣x）g（﹣x）=﹣ax =﹣f（x）g（x），

則函數y=f（x）g（x）為奇函數；

②當b＜0時，f（x）g（x）=a（x+b） ，﹣1≤x≤1，

由f（﹣ ）g（﹣ ）=a（﹣ +b） ，f（ ）g（ ）=a（ +b） ，

可得f（﹣ ）g（﹣ ）≠﹣f（ ）g（ ），且f（﹣ ）g（﹣ ）≠f（ ）g（ ），

則函數y=f（x）g（x）為非奇非偶函數

（2）解：當b=0時，函數y= = 在（﹣1，1）遞增．

理由：任取x1，x2，且﹣1＜x1＜x2＜1，

可得1+x1x2＞0，（1﹣x12）（1﹣x22）＞0，

則y1﹣y2= ﹣ = ＜0，

可得y1＜y2，

即函數y= = 在（﹣1，1）遞增

（3）解：h（x）=|af2（x）﹣ |=|﹣ax2﹣x+a﹣b|，對稱軸為x=﹣ ≤﹣ ，

①當﹣1≤﹣ ≤﹣ ，即 ≤a≤1時，

h（1）=|1+b|，h（﹣1）=|1﹣b|=1﹣b，h（﹣ ）=a+ ﹣b，

h（x）max=max{h（1），h（﹣1），h（﹣ ）}，

a+ ﹣b在 ≤a≤1時遞增，可得a+ ﹣b∈[1﹣b， ﹣b]，

即有h（x）max=a+ ﹣b=2，

可得a+b=2a+ ﹣2在 ≤a≤1遞增，可得

a+b∈[﹣ ， ]；

②﹣ ＜﹣1，即0＜a＜ 時，

h（x）max=max{h（1），h（﹣1）}=1﹣b=2，即b=﹣1，

可得a+b=a﹣1∈（﹣1，﹣ ）．

綜上可得，a+b∈（﹣1，﹣ ]

【解析】（1）求得y=f（x）g（x）=a（x+b） ，討論b=0，b＜0，運用奇偶性的定義，即可判斷；（2）當b=0時，函數y= = 在（﹣1，1）遞增．運用單調性的定義證明，注意取值、作差和變形、定符號和下結論；（3）求出h（x）=|af2（x）﹣ |=|﹣ax2﹣x+a﹣b|，對稱軸為x=﹣ ≤﹣ ，討論當﹣1≤﹣ ≤﹣ ，即 ≤a≤1時，﹣ ＜﹣1，即0＜a＜ 時，求出端點處的函數值和頂點處的函數值，比較可得最大值，再由對勾函數的單調性和一次函數的單調性，即可得到所求范圍．