Question

如圖，已知直線的右焦點F，且交橢圓C于A，B兩點，點A，F，B在直線上的射影依次為點D，K，E.
（1）若拋物線的焦點為橢圓C的上頂點，求橢圓C的方程；
（2）對于（1）中的橢圓C，若直線L交y軸于點M，且，當m變化時，求的值；
（3）連接AE，BD，試探索當m變化時，直線AE、BD是否相交于一定點N？若交于定點N，請求出N點的坐標，并給予證明；否則說明理由.

Answer 1

（1）（2）（3）AE與BD相交于定點

（1）易知

………………2分
  （2）
設

…………………………………………4分
又由

同理

……………………………………6分
（3）
先探索，當m=0時，直線L⊥ox軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交FK中點N，且
猜想：當m變化時，AE與BD相交于定點……………………8分
證明：設
當m變化時首先AE過定點N



A、N、E三點共線
同理可得B、N、D三點共線
∴AE與BD相交于定點……………………12分