Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n．且滿足S_n=2a_n-1（n∈N⁺）
（I）求證：數列{a_n}是等比數列；
（II）數列{b_n}滿足b_n+1．=a_n+b_nn∈N⁺．且b₁=3．若不等式log2(bn-2)＜

3

16

n2+t對任意n∈N⁺恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）把n=n+1代入S_n=2a_n+1得到一個式子，再把兩個式子相減，再由S_n+1-S_n=a_n+1得到數列的遞推公式，化簡后根據等比數列的定義進行證明；
（II）把n=1代入S_n=2a_n+1，求出a₁的值，再由（I）的結論和等比數列的通項公式，求出a_n．

解答：解：（ I）證明：依題意可得S_n+1=2a_n+1-1…①，S_n=2a_n-1…②
①-②，得a_n+1=2a_n+1-2a_n
化簡得

an+1

an

=2(n∈N*)，
∵a₁=2a₁-1，
∴a₁=1
∴數列{a_n}是以1為首項，公比為2的等比數列．
（II）由（Ⅰ）可知a_n=2^n-1，因為b_n+1=a_n+b_n，n∈N⁺．且b₁=3，
所以b_n=a_n-1+b_n-1=a_n-1+a_n-2+b_n-2=…=a_n-1+a_n-2+…+a₁+b₁
=2^n-2+2^n-3+…+1+3=2^n-1+2，
因為不等式log2(bn-2)＜

3

16

n2+t對任意n∈N⁺恒成立，
所以log2(2n-1+2-2)＜

3

16

n2+t，
即t＞-

3

16

n2+n-1，對任意n∈N⁺恒成立，
因為-

3

16

n2+n-1≤

5

16

，且n=3時-

3

16

n2+n-1取得最大值

5

16

．
所以t＞

5

16

．
所以實數t的取值范圍：(

5

16

，+∞)．

點評：本題考查了等比數列的定義和通項公式，以及S_n與a_n之間的關系的應用，證明數列是等比數列常用它的定義進行證明．注意數列求和的方法，恒成立條件的應用，考查數列與不等式的綜合．