Question

設a，b，c均為正數，且a+b+c=1．證明：ab+bc+ca≤

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3

．

Answer 1

分析：利用基本不等式可知∴a²+b²≥2ab，a²+c²≥2ac，b²+c²≥2bc，從而可得a²+b²+c²≥ab+ac+bc；再利用（a+b+c）²=1，即可證得結論．

解答：證明：∵a，b，c均為正數，
∴a²+b²≥2ab，
a²+c²≥2ac，
b²+c²≥2bc，
以上三式累加得：2（a²+b²+c²）≥2（ab+ac+bc），
∴a²+b²+c²≥ab+ac+bc；①
又a+b+c=1，
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+ac+bc）=1≥3（ab+bc+ca），
∴ab+bc+ca≤

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（當且僅當a=b=c=

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時取“=”）．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查基本不等式的應用，考查分析轉化與推理證明能力，屬于中檔題．