Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，過點的圓的圓心C在x軸上，且與過原點傾斜角為30°的直線l相切.

(1)求圓C的標準方程；

(2)求直線被圓C截得的弦長；

(3)點P在直線m：上，過點P作⊙C的切線PM、PN，切點分別為M、N，求經過P、M、N、C四點的圓所過的定點坐標.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)或.

【解析】

（1）設⊙C的方程為，解方程組即得解；（2）利用直線和圓相交的弦長公式得解；（3）易知過P、M、C、N四點的圓以PC為直徑，設，圓方程為，整理得，解方程組得解.

(1)設⊙C的方程為

又直線l的方程為：，即

由題意，解得：，，

∴⊙C的標準方程為

(2)圓心到直線的距離

故弦長

(3)易知過P、M、C、N四點的圓以PC為直徑，

設，又C為，故所求圓的圓心為，半徑為，

∴該圓方程為：

化一般方程得：

上述方程關于參數b重新整理得：，

令，解得：或，

故所得圓過定點或.