Question

設(shè)函數(shù)y=ax³+bx²+cx+d的圖象與y軸交點為P，且曲線在P點處的切線方程為24x+y-12=0，若函數(shù)在x=2處取得極值為-16．
（1）求函數(shù)解析式；
（2）確定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）證明：當x∈（-∞，0）時，y＜92.5．

Answer 1

分析：（1）要確定解析式，即求a，b，c，d這四個參數(shù)，由f′（0）=c，且切線24x+y-12=0可解得c，把x=0代入24x+y-12=0可得P點的坐標為解d，再由函數(shù)f（x）在x=2處取得極值-16，解得a，b，從而求得解析式；
（2）利用f′（x）＜0，確定函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；利用f′（x）＞0，確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（3）利用導(dǎo)數(shù)確定當x∈（-∞，0）時，函數(shù)的最大值，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得由y′=3ax²+2bx+c，∴f′（0）=c，
∵切線24x+y-12=0的斜率k=-24，∴c=-24，
把x=0代入24x+y-12=0得y=12，∴P點的坐標為（0，12），由此得d=12，
∴f（x）即可寫成f（x）=ax³+bx²-24x+12．
由函數(shù)f（x）在x=2處取得極值-16，則得

-16=8a+4b-36 0=12a+4b-24

解得a=1，b=3．
∴f（x）=x³+3x²-24x+12，
（2）解：f′（x）=3x²+6x-24．
令f′（x）＜0，得-4＜x＜2；令f′（x）＞0，得x＜-4或x＞2．
∴函數(shù)遞減區(qū)間為（-4，2），遞增區(qū)間為（-∞，-4），（2，+∞）．
（3）證明：由（2）知當x∈（-∞，0）時，x=-4是函數(shù)的極大值點，且是唯一的極值點，所以x=-4時的函數(shù)值是函數(shù)的最大值．
∴當x∈（-∞，0）時，函數(shù)的最大值為92
∴當x∈（-∞，0）時，y＜92.5．

點評：本題主要考查了函數(shù)的極值點，導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬中檔題．