Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，3）上單調(diào)遞增在（3，+∞）上單調(diào)遞減，且函數(shù)圖象在（2，f（2））處的切線與直線5x+y=0垂直．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a、b、c的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求d的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=3ax²+2bx+c，由題意可得f′(2)=12a+4b+c=

1

5

，所以f′（1）=2a+2b+c=0，f′（3）=27a+6b+c=0．聯(lián)立可求a，b，c
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x），由x=1和x=3分別是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且當(dāng)x取負(fù)值且絕對(duì)值足夠大時(shí)，y取正值，當(dāng)x時(shí)正值且足夠大時(shí)，y取負(fù)值，則方程f（x）=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的充要條件為

f(1)＜0 f(3)＞0

，代入可求

解答：解：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵函數(shù)圖象在（2，f（2））處的切線與直線5x+y=0垂直，
∴f′(2)=12a+4b+c=

1

5

．①
由已知可知，1和3為方程f′（x）=0的兩根，所以f′（1）=2a+2b+c=0，②
f′（3）=27a+6b+c=0．③
由①、②、③解得a=-

1

15

，b=

2

5

，c=-

3

5

．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=-

1

15

x3+

2

5

x2-

3

5

x+d，
∵x=1和x=3分別是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且當(dāng)x取負(fù)值且絕對(duì)值足夠大時(shí)，y取正值，當(dāng)x時(shí)正值且足夠大時(shí)，y取負(fù)值．（8分）
所以方程f（x）=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的充要條件為

f(1)＜0 f(3)＞0

即

- 4 15 +d＜0 d＞0

所以d的取值范圍為0＜d＜

4

15

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為改點(diǎn)的切線的斜率，導(dǎo)數(shù)的極值存在的條件的應(yīng)用及利用函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化求解參數(shù)的范圍，屬于導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用．