Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，已知平面，為的中點，，過點作于，連接，，.

（1）求證：平面平面；

（2）若直線與平面所成角的正切值為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）證明平面推出，再證明平面推出，然后證明平面從而由線面垂直推出面面垂直；（2）利用線面角的正切值求出AD，以為坐標中心建立空間直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量，代入公式即可得解.

（1）證明：∵平面，∴，

又∵，，平面，平面，

∴平面，∴，

又∵，∴，

，∴平面，∴，

又∵，∴平面，

又∵平面，∴平面平面.

（2）∵平面，∴與平面所成角為，

∴，

假設，∴，∴，∴，

以為坐標中心建立如圖所示的空間直角坐標系，

，，，，，，

由（1）可知平面，∴為平面的法向量，

又∵平面，∴為平面的法向量，

∵，，

∴.

∴平面與平面所成角的余弦值為.