Question

【題目】設實數c＞0，整數p＞1，n∈N* ．
（1）證明：當x＞﹣1且x≠0時，（1+x）p＞1+px；
（2）數列{an}滿足a1＞ ，an+1= an+ an1﹣p ． 證明：an＞an+1＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：令f（x）=（1+x）p﹣（1+px），則f′（x）=p（1+x）p﹣1﹣p=p[（1+x）p﹣1﹣1]．

①當﹣1＜x＜0時，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0，∴（1+x）p﹣1＜（1+x）0=1，

∴（1+x）p﹣1﹣1＜0，即f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣1，0]上為減函數，

∴f（x）＞f（0）=（1+0）p﹣（1+p×0）=0，即（1+x）p﹣（1+px）＞0，

∴（1+x）p＞1+px．

②當x＞0時，有1+x＞1，得（1+x）p﹣1＞（1+x）0=1，

∴f′（x）＞0，

∴f（x）在[0，+∞）上為增函數，

∴f（x）＞f（0）=0，

∴（1+x）p＞1+px．

綜合①、②知，當x＞﹣1且x≠0時，都有（1+x）p＞1+px，得證．

（2）

證明：先證an+1＞ ．

∵an+1= an+ an1﹣p，∴只需證 an+ an1﹣p＞ ，

將 寫成p﹣1個 相加，上式左邊= ，

當且僅當 ，即 時，上式取“=”號，

當n=1時，由題設知 ，∴上式“=”號不成立，

∴ an+ an1﹣p＞ ，即an+1＞ ．

再證an＞an+1．

只需證an＞ an+ an1﹣p，化簡、整理得anp＞c，只需證an＞ ．

由前知an+1＞ 成立，即從數列{an}的第2項開始成立，

又n=1時，由題設知 成立，

∴ 對n∈N*成立，∴an＞an+1．

綜上知，an＞an+1＞ ，原不等式得證．

【解析】第（1）問中，可構造函數f（x）=（1+x）p﹣（1+px），求導數后利用函數的單調性求解；
對第（2）問，從an+1 著手，由an+1= an+ an1﹣p ， 將求證式進行等價轉化后即可解決，用相同的方式將an＞an+1進行轉換，設法利用已證結論證明．
【考點精析】認真審題，首先需要了解不等式的證明(不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等)．