Question

三棱錐中, 是的中點,

（I）求證：；
（II）若，且二面角為,求與面所成角的正弦值。

Answer 1

（I）見解析；（II）。

本試題主要是考查了立體幾何總空間中的線線垂直的證明以及線面角的求解的綜合運用。
（1）對于線線的垂直的證明，主要利用線面垂直的性質定理得到，先分先要證明的線和平面，然后找突破口進而求證。
（2）而對于線面角的求解問題，既可以采用向量法，也可以采用得到斜線和斜線在平面內的射影，借助于線面角的定義作出角，分析求解。
解：（I）如圖取的中點，連，

∵為中點，為中點，∴.
∴.  
∵ ∴
又，
∴                …………4分
∵，∴ …………6分
（II）由（I）知,
。

              …………8分
 ,
為等腰直角三角形，，

   …………10分
又由(1)知
        
就是與面所成角 ，           …………12分
在中，，         .
即直線與面所成角的正弦值為       …………14分