Question

已知二次函數的二次項系數為a，且不等式的解集為

(1，3)，

(1)若方程有兩個相等的根，求的解析式；

(2)若的最小值為負數，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)∵的解集為(1，3)，∴設，則．因而．　　　　① 由方程得．　　　　　　　　　　② ∵方程②有兩個相等的根，∴，即 ．解得或． 由于，舍去，將代入①，得的解析式為． (2)由及，可得的最小值為． 由題意可得解得． 故當的最小值為負數時，實數a的取值范圍是．

提示：

本題綜合考查一元二次方程、簡單的一元二次不等式和二次函數的關系及其性質，重點是相互之間的轉化．在(1)中，通過不等式的解集為(1，3)用二次函數的兩根式把不等式轉化成函數，再根據韋達定理將問題轉化成關于a的方程．在(2)中，既可以根據二次函數的最值公式將題意轉化成不等式，也可以用配方法求最值．