Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數）.

（1）求函數的零點，以及曲線在其零點處的切線方程；

（2）若方程有兩個實數根，求證：.

Answer 1

【答案】（1）零點為；；；（2）見解析.

【解析】

（1）由題意可得函數的零點為，，求導后，求出，，再求出，利用點斜式即可求得切線方程；

（2）利用導數證明、，設，由函數單調性可知、，利用即可得證.

（1）由，得或，所以函數的零點為，，

因為，所以，.

又因為，

所以曲線在處的切線方程為，

在處的切線方程為；

（2）證明：因為函數的定義為，，

令，則，所以即單調遞減，

由，，

所以存在，使得在上單調遞增，在上單調遞減；

不妨設，且，，

令，，

記，則，

令，則，

所以單調遞增，且，

故在單調遞減，在單調遞增，

所以，即；

記，則，

所以單調遞增，且，故在單減，在單增.

則，即；

不妨設，

因為，且為增函數，所以.

由，得；

同理，；

所以.

所以，

所以.