Question

【題目】（1）已知圓過點，且與直線相切于點，求圓的方程；

（2）已知圓與軸相切，圓心在直線上，且圓被直線截得的弦長為，求圓的方程．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）或.

【解析】

（1）求出過點且垂直于直線的直線方程，并求出線段的垂直平分線方程，聯立兩直線方程可得出圓心坐標，求出圓心到點的距離作為圓的半徑，由此可得出圓的標準方程；

（2）設圓心的坐標為，可知圓的半徑為，求出圓心到直線的距離，利用弦長的一半、、圓的半徑之間的關系并結合勾股定理求出的值，即可得出圓的標準方程.

（1）由題意知圓心必在過切點且垂直切線的直線上，

可求得此直線為，

直線的斜率為，線段的中點坐標為，則線段的垂直平分線方程為，即，

可知圓心必在線段的垂直平分線上，

聯立，可求得圓心，則，

因此，圓的方程為；

（2）設圓心，半徑，

圓心到直線的距離為，

由半弦長、弦心距、半徑的關系得，，

當時，圓心，半徑，此時圓為；

當時，圓心，半徑，此時圓為.

因此，圓的方程為或.