Question

將正方形ABCD沿對角線AC折成直二面角（如圖），E，F分別是AD，BC的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥BD；
（Ⅱ）在AC上是否存在點G使DF∥平面BEG？若存在，求AG：GC；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取AC的中點O，連接OB，OD，證明AC⊥平面OBD，即可證明AC⊥BD；
（Ⅱ）存在點G使DF∥平面BEG，AG：GC=1：2，理由：取GC的中點O，連接OD，OF，
證明OD∥平面BEG，OF∥平面BEG；推出平面ODF∥平面BEG．即可說明存在點G使DF∥平面BEG，AG：GC=1：2．
解答：證明：（Ⅰ）取AC的中點O，連接OB，OD，則由題意得：OB⊥AC，OD⊥AC，OB∩OD=O，
則AC⊥平面OBD，又BD?平面OBD，∴AC⊥BD；
（Ⅱ）存在點G使DF∥平面BEG，AG：GC=1：2，理由如下：
當AG：GC=1：2時，取GC的中點O，連接OD，OF，
則易知AG=GO=OC，故由AG=GO，以及AE=ED可知：EG是△AOD的中位線，從而GE∥OD，
于是易知OD∥平面BEG，由CO=GO，
∵CF=BF，可知FG是△CBG的中位線，∴FG∥OF，易知OF∥平面BEG；
由于OD與OF相交于O，故平面ODF∥平面BEG．由DF?平面ODF可知，DF∥平面BEG．
由于平面ODF以及BE都是不變的，故能作出平面ODF∥平面BEG的點G是唯一的，
因此存在點G使DF∥平面BEG，此時AG：GC=1：2．
點評：本題是中檔題，考查直線與平面垂直，直線與直線的垂直的證明，平面與平面的平行的證明方法，考查邏輯推理能力．