Question

【題目】輪船A從某港口O要將一些物品送到正航行的輪船B上，在輪船A出發時，輪船B位于港口O北偏西30°且與O相距20海里的P處，并正以15海里/時的航速沿正東方向勻速行駛，假設輪船A沿直線方向以v海里/時的航速勻速行駛，經過t小時與輪船B相遇，

（1）若使相遇時輪船A航距最短，則輪船A的航行速度的大小應為多少？

（2）假設輪船B的航行速度為30海里/時，輪船A的最高航速只能達到30海里/時，則輪船A以多大速度及沿什么航行方向行駛才能在最短時間內與輪船B相遇，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 海里/時(2) 航向為北偏東30°，航速為30海里/時時，輪船A能在最短時間內與輪船B相遇,理由見解析

【解析】

（1）設相遇時輪船A航行的距離為s海里,利用余弦定理可得,進而求得距離的最小值,從而得到此時的航行速度；

（2）先畫出示意圖,再利用余弦定理整理可得速度與時間的關系,根據速度的范圍解得時間的最值,則可判斷示意圖中三角形的性質,進而得到方向即可

（1）設相遇時輪船A航行的距離為s海里，則

∴當時,,此時,

即輪船A以海里/時的速度航行,相遇時輪船A航距最短

（2）航向為北偏東30°,航速為30海里/時時,輪船A能在最短時間內與輪船B相遇,

設輪船A與輪船B在Q處相遇,如圖,

則,即,

∵,∴,即,解得,

又時,,

∴時,t最小且為,

此時在△POQ中,

∴航向為北偏東30°,航速為30海里/時時,輪船A能在最短時間內與輪船B相遇