Question

（2012•寧德模擬）若直線kx-y-2=0與曲線

1-(y-1)2

=x-1有兩個不同的交點，則實數k的取值范圍是（　　）

• A．(

  4

  3

  ，2]
• B．(

  4

  3

  ，4]
• C．[-2，-

  4

  3

  )∪(

  4

  3

  ，2]
• D．(

  4

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：將直線化成斜截式，可得直線經過點（0，-2），將曲線方程化簡整理，得該曲線是以（1，1）為圓心，半徑為1的圓位于直線x=1右側的部分．作出圖形，觀察直線的斜率k的變化，再結合計算即可得到實數k的取值范圍．

解答：解：直線kx-y-2=0化成y=kx-2，可得它必定經過點（0，-2）
而曲線

1-(y-1)2

=x-1，可變形整理為（x-1）²+（y-1）²=1（x≥1）
∴該曲線是以（1，1）為圓心，半徑為1的圓位于直線x=1右側的部分
設直線在圓下方與圓相切時的斜率為k₁，直線過點（1，0）與圓有兩個交點時的斜率為k₂．
可得當直線kx-y-2=0與曲線有兩個不同的交點時，斜率k滿足k₁＜k≤k₂．
由點（1，1）到直線kx-y-2=0的距離d=

|k-1-2|

k2+1

=1，解得k₁=

4

3

而k₂=

-2-0

0-1

=2，由此可得

4

3

＜k≤2
故選A

點評：本題給出動直線與半圓有兩個不同的交點，求直線斜率k的取值范圍，著重考查了曲線與方程的化簡和直線與圓的位置關系等知識，屬于基礎題．