Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，5]，部分對應(yīng)值如下表，f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，給出關(guān)于f（x）的下列命題： x -1 0 2 4 5 f（x） 1 2 0 2 1 ①函數(shù)y=f（x）在x=2時，取極小值； ②函數(shù)f（x）在[0，1]是減函數(shù)，在[1，2]是增函數(shù)； ③當(dāng)1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）-a有4個零點(diǎn)； ④如果當(dāng)x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最小值為0， 其中所有正確命題的個數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由導(dǎo)數(shù)圖象可得當(dāng)-1＜x＜0，2＜x＜4時，f'（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)0＜x＜2，4＜x＜5時，f'（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值，最值之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．

解答：解：由圖象可知當(dāng)-1＜x＜0，2＜x＜4時，f'（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)0＜x＜2，4＜x＜5時，f'（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=0或x=4時，函數(shù)取得極大值，當(dāng)x=2時，函數(shù)取得極小值．
所以①正確．
②函數(shù)在[0，2]上單調(diào)遞減，所以②錯誤．
③因?yàn)閤=0或x=4時，函數(shù)取得極大值，當(dāng)x=2時，函數(shù)取得極小值．所以f（0）=2，f（4）=2，f（2）=0，因?yàn)閒（-1）=f（5）=1，所以由函數(shù)圖象可知當(dāng)1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）-a有4個零點(diǎn)；正確．
④因?yàn)楹瘮?shù)在[-1，0]上單調(diào)遞增，且函數(shù)的最大值為2，所以要使當(dāng)x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，則t≥0即可，所以t的最小值為0，所以④正確．
故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的推理能力，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法．