Question

（Ⅰ）已知函數f（x）=x³-x，其圖象記為曲線C．
（i）求函數f（x）的單調區間；
（ii）證明：若對于任意非零實數x₁，曲線C與其在點P₁（x₁，f（x₁））處的切線交于另一點P₂（x₂，f（x₂）），曲線C與其在點P₂（x₂，f（x₂））處的切線交于另一點P₃（x₃，f（x₃）），線段P₁P₂，P₂P₃與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S₁，S₂．則

S1

S2

為定值；
（Ⅱ）對于一般的三次函數g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），請給出類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（i）先求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0解得的區間為增區間和fˊ（x）＜0解得的區間為減區間，注意單調區間不能并；
（ii）先求出點P₁與點P₂的橫坐標的關系，再求定積分求出圍成封閉圖形的面積S₁，利用同樣的方法求出面積S₂即可．
（Ⅱ）根據類似（Ⅰ）的命題方法進行求解，可知曲線C′與其在點P₁（x₁，g（x₁））處的切線交于另一點P₂（x₂，g（x₂）），再求出P₃，從而進行求解；

解答：解：（Ⅰ）（i）由f（x）=x³-x得f′（x）=3x²-1=3（x-

3

3

）（x+

3

3

），
當x∈（-∞，-

3

3

）和（

3

3

，+∞）時，f′（x）＞0；
當x∈（-

3

3

，

3

3

）時，f′（x）＜0，
因此，f（x）的單調遞增區間為（-∞，-

3

3

）和（

3

3

，+∞），單調遞減區間為（-

3

3

，

3

3

）；
（ii）曲線C與其在點P₁處的切線方程為y=（3x₁²-1）（x-x₁）+x₁³-x₁，即
即y=（3x₁²-1）x-2x₁³，由

y=(3 x 3 1 -1)x- 2x 3 1 y=x3-1

；
解得x=x₁或x=-2x₁故x₂=-2x₁，
進而有S₁=|

∫

-x1 x1

（x³-3x₁³x+2x₁³）dx|=

27

4

x

4 1

，用x₂代替x₁，重復上述計算過程，可得
x₃=-2x₂和S₂=

27

4

x

4 2

，∴

S1

S2

=

1

16

；圖形
（Ⅱ）類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題為：
若對于任意不等于-

b

3a

的實數x₁，曲線C′與其在點P₁（x₁，g（x₁））處的切線交于另一點P₂（x₂，g（x₂）），
曲線C′與其在點P₂（x₁，g（x₁））處的切線交于另一點P₃（x₃，g（x₁）），線段P₁P₂、P₂P₃與曲線C′所圍成封閉
圖形的面積分別記為S₁，S₂，則

S1

S2

為定值；
證明如下：
因為平移變換不改變面積的大小，
故可將曲線y=g（x）的對稱中心（-

b

3a

，g（-

b

3a

））
平移至坐標原點，因而不妨設g（x）=ax³+hx，且x₁≠0，類似（Ⅰ）（ii）的計算可得：S₁=

27

4

a

2 1

，S₂=

27×16

4

a

2 1

≠0，故

S1

S2

=

1

16

；

點評：本小題主要考查函數、導數、定積分等基礎知識，考查抽象概括能力、運算求解能力、推理論證能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、特殊與一般思想．