Question

A地產汽油，B地需要汽油．運輸工具沿直線AB從A地到B地運油，往返A，B一趟所需的油耗等于從A地運出總油量的．如果在線段AB之間的某地C（不與A，B重合）建一油庫，則可選擇C作為中轉站，即可由這種運輸工具先將油從A地運到C地，然后再由同樣的運輸工具將油從C地運到B地．設=x，往返A，C一趟所需的油耗等于從A地運出總油量的．往返C，B一趟所需的油耗等于從C地運出總油量的．不計裝卸中的損耗，定義：運油率P=，設從A地直接運油到B地的運油率為P₁，從A地經過C中轉再運油到B地的運油率為P₂．
（1）比較P₁，P₂的大小；
（2）當C地選在何處時，運油率P₂最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）設從A地運出的油量為a，根據題設，直接運油到B地，往返油耗等于a，所以B地收到的油量為（1-）a．根據
運油率P=，可計算P₁；而從A地運出的油量為a時，C地收到的油量為（1-）a，
B地收到的油量（1-）（1-）a，根據運油率P=，可計算P₂．然后兩者作差比較．
（2）由P₂=（+）（1-）利用基本不等式求其最大值．
解答：解：（1）設從A地運出的油量為a，根據題設，直接運油到B地，往返油耗等于a，
所以B地收到的油量為（1-）a．
所以運油率P₁==．
而從A地運出的油量為a時，C地收到的油量為（1-）a，
B地收到的油量（1-）（1-）a，
所以運油率P₂=（1-）（1-）=（+）（1-）．
所以P₂-P₁=x（1-x），因為0＜x＜1，
所以P₂-P₁＞0，即P₂＞P₁．
（2）因為P₂=（+）（1-）≤=
當且僅當+=1-，即x=時，取“=”
所以當C地為AB中點時，運油率P₂有最大值．
點評：本題主要考查函數模型的建立與應用，涉及了函數模型的比較，基本不等式求函數最值．