Question

A地產汽油，B地需要汽油．運輸工具沿直線AB從A地到B地運油，往返A，B一趟所需的油耗等于從A地運出總油量的

1

100

．如果在線段AB之間的某地C（不與A，B重合）建一油庫，則可選擇C作為中轉站，即可由這種運輸工具先將油從A地運到C地，然后再由同樣的運輸工具將油從C地運到B地．設

AC

AB

=x，往返A，C一趟所需的油耗等于從A地運出總油量的

x

100

．往返C，B一趟所需的油耗等于從C地運出總油量的

1-x

100

．不計裝卸中的損耗，定義：運油率P=

B地收到的汽油量

A地運出的汽油量

，設從A地直接運油到B地的運油率為P₁，從A地經過C中轉再運油到B地的運油率為P₂．
（1）比較P₁，P₂的大小；
（2）當C地選在何處時，運油率P₂最大？

Answer 1

分析：（1）設從A地運出的油量為a，根據題設，直接運油到B地，往返油耗等于

1

100

a，所以B地收到的油量為（1-

1

100

）a．根據
運油率P=

B地收到的汽油量

A地運出的汽油量

，可計算P₁；而從A地運出的油量為a時，C地收到的油量為（1-

x

100

）a，
B地收到的油量（1-

1-x

100

）（1-

x

100

）a，根據運油率P=

B地收到的汽油量

A地運出的汽油量

，可計算P₂．然后兩者作差比較．
（2）由P₂=（

99

100

+

x

100

）（1-

x

100

）利用基本不等式求其最大值．

解答：解：（1）設從A地運出的油量為a，根據題設，直接運油到B地，往返油耗等于

1

100

a，
所以B地收到的油量為（1-

1

100

）a．
所以運油率P₁=

a- 1 100 a

a

=

99

100

．
而從A地運出的油量為a時，C地收到的油量為（1-

x

100

）a，
B地收到的油量（1-

1-x

100

）（1-

x

100

）a，
所以運油率P₂=（1-

1-x

100

）（1-

x

100

）=（

99

100

+

x

100

）（1-

x

100

）．
所以P₂-P₁=

1

10000

x（1-x），因為0＜x＜1，
所以P₂-P₁＞0，即P₂＞P₁．
（2）因為P₂=（

99

100

+

x

100

）（1-

x

100

）≤(

99 100 + x 100 +1- x 100

2

)2=(

199

200

)2
當且僅當

99

100

+

x

100

=1-

x

100

，即x=

1

2

時，取“=”
所以當C地為AB中點時，運油率P₂有最大值．

點評：本題主要考查函數模型的建立與應用，涉及了函數模型的比較，基本不等式求函數最值．