Question

如圖，側棱垂直底面的三棱柱中，，，，是側棱上的動點．

　　　　

       （Ⅰ）當時，求證：；

       （Ⅱ）試求三棱錐的體積取得最大值時的值；

       （Ⅲ）若二面角的平面角的余弦值為，試求實數的值．

 

Answer 1

解：（Ⅰ）證法一：∵面，∴，．

又∵，∴四邊形是正方形，

∴．   ………1分

∵，

∴．    ………2分

又∵,  ∴．  ………3分

∵,

∴．   ………4分

證法二：∵面，∴，．

又∵，

∴分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系．……1分

則，

，

∴，  …2分

　∴． …3分

又∵

∴．   …4分

證法三：∵面，∴，．

又∵，

∴分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系．……1分

則,

．

　設平面的法向量，

則，解得．

　令，則，    ……3分

∵,    ∴．    ……4分

（Ⅱ）∵，

∴點到平面的距離等于點到平面的距離

∴,  …5分

　　　　，

　　　令，得（舍去）或，

列表，得

		1
	+	0	－
	遞增	極大值	遞減

∴當時，．   …8分

（Ⅲ）分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系．

則,

，

，．   ……9分

　設平面的法向量，

則，解得,

　令，則．   …10分

　設平面的法向量，

則．

由于，所以解得．

令，則．  …11分

設二面角的平面角為，

則有．

       化簡得,解得（舍去）或．

       所以當時，二面角的平面角的余弦值為．  …13分