Question

（2012•泉州模擬）如圖，側棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0），P是側棱AA₁上的動點．
（Ⅰ）當AA₁=AB=AC時，求證：A₁C⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）試求三棱錐P-BCC₁的體積V取得最大值時的t值；
（Ⅲ）若二面角A-BC₁-C的平面角的余弦值為

10

10

，試求實數t的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證法一：利用線面垂直的判定證明，即證AC₁⊥A₁C，AB⊥AC₁；
證法二：建立空間直角坐標系，證明

A1C

⊥

AC1

，

A1C

⊥

AB

；
證法三：建立空間直角坐標系，求出平面ABC₁的法向量

n

=(0，-1，1)，利用

A1C

=-

n

，證明A₁C⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）先判斷P到平面BB₁C₁C的距離等于點A到平面BB₁C₁C的距離，利用等體積轉化，求出三棱錐P-BCC₁的體積，利用導數的方法，求最大值；
（Ⅲ）建立空間直角坐標系，求出平面ABC₁的法向量

n1

=(0，2t-3，t)，平面BCC₁的法向量

n2

=(1，1，0)，利用向量的夾角公式及二面角A-BC₁-C的平面角的余弦值為

10

10

，可求實數t的值．

解答：（Ⅰ）證法一：∵AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
又∵AA₁=AC，∴四邊形AA₁C₁C是正方形，
∴AC₁⊥A₁C．…（1分）
∵AB⊥AC，AB⊥AA₁，AA₁，AC?平面AA₁C₁C，AA₁∩AC=A，
∴AB⊥平面AA₁C₁C．…（2分）
又∵AC₁?平面AA₁C₁C，∴AB⊥AC₁．…（3分）
∵AB，AC₁?平面ABC₁，AB∩AC₁=A，
∴A₁C⊥平面ABC₁．…（4分）
證法二：∵AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
又∵AB⊥AC，∴分別以AB，AC，AA₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．…（1分）

則A（0，0，0），C₁（0，1，1），B（1，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，1），
∴

A1C

=(0，1，-1)，

AC1

=(0，1，1)，

AB

=(1，0，0)，
∴

A1C

•

AC1

=0，

A1C

•

AB

=0，…（2分）
∴

A1C

⊥

AC1

，

A1C

⊥

AB

．…（3分）
又∵AB，AC₁?平面ABC₁，AB∩AC₁=A∴A₁C⊥平面ABC₁．…（4分）
證法三：∵AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
又∵AB⊥AC，
∴分別以AB，AC，AA₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．…（1分）

則A（0，0，0），C₁（0，1，1），B（1，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，1），
∴

A1C

=(0，1，-1)，

AC1

=(0，1，1)，

AB

=(1，0，0)．
設平面ABC₁的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AC1 =y+z=0 n • AB =x=0

，解得

x=0 y=-z

．
令z=1，則

n

=(0，-1，1)，…（3分）
∵

A1C

=-

n

，∴A₁C⊥平面ABC₁．…（4分）
（Ⅱ）解：∵AA₁∥平面BB₁C₁C，∴點P到平面BB₁C₁C的距離等于點A到平面BB₁C₁C的距離
∴V=VP-BCC1=VA-BCC1=VC1-ABC=

1

6

t2(3-2t)=

1

2

t2-

1

3

t3(0＜t＜

3

2

)，…（5分）
∴V'=-t（t-1），令V'=0，得t=0（舍去）或t=1，
列表，得

	（0，1）	1	(1， 3 2 )
V'	+	0	-
V	遞增	極大值	遞減

∴當t=1時，Vmax=

1

6

．…（8分）
（Ⅲ）解：分別以AB，AC，AA₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
則A（0，0，0），C₁（0，t，3-2t），B（t，0，0），C（0，t，0），A₁（0，0，3-2t），
∴

A1C

=(0，t，2t-3)，

AC1

=(0，t，3-2t)，

AB

=(t，0，0)，

CC1

=(0，0，3-2t)，

BC

=(-t，t，0)．…（9分）
　
設平面ABC₁的法向量

n1

=(x1，y1，z1)，
則

n1 • AC1 =ty1+(3-2t)z1=0 n1 • AB =tx1=0

，解得

x1=0 y1= 2t-3 t z1

，
令z₁=t，則

n1

=(0，2t-3，t)．…（10分）
設平面BCC₁的法向量

n2

=(x2，y2，z2)，則

n2 • BC =-tx2+ty2=0 n2 • CC1 =(3-2t)z2=0

．
由于0＜t＜

3

2

，所以解得

x2=y2 z2=0

．
令y₂=1，則

n2

=(1，1，0)．…（11分）
設二面角A-BC₁-C的平面角為θ，則有|cosθ|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

|2t-3|

2 • t2+(2t-3)2

=

10

10

．
化簡得5t²-16t+12=0，解得t=2（舍去）或t=

6

5

．
所以當t=

6

5

時，二面角A-BC₁-C的平面角的余弦值為

10

10

．…（13分）

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想及應用意識．